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文章关键词:1331银河网站登录,等价关系

  4.64.6一、等价关系与等价类定义4.6.1对称的和传递的则称 R为 A上的等价关系此时若 aRb, 则称 a与b 等价,记为 a ∼ b。若集合 A上的二元关系 R是自反的、如人血型、年龄的相同关系都是等价关系但同学关系不是等价关系因为它不是传递的。 例4.6.1设是整数集合上模同余关系即(mod )则是上等价关系。例4.6.2即则是设是阶矩阵集合存在阶可逆矩阵使上的等价关系。上的相似关系1P APaRbabnnMARB BnM 定义4.6.2 设是集合上的等价关系,元素称与等价的元素所组成的集合为由价类简称的等价类记为即[ ]a[...

  4.64.6一、等价关系与等价类定义4.6.1对称的和传递的则称 R为 A上的等价关系此时若 aRb, 则称 a与b 等价,记为 a b。若集合 A上的二元关系 R是自反的、如人血型、年龄的相同关系都是等价关系但同学关系不是等价关系因为它不是传递的。 例4.6.1设是整数集合上模同余关系即(mod )则是上等价关系。例4.6.2即则是设是阶矩阵集合存在阶可逆矩阵使上的等价关系。上的相似关系1P APaRbabnnMARB BnM 定义4.6.2 设是集合上的等价关系,元素称与等价的元素所组成的集合为由价类简称的等价类记为即[ ]a[0][1]生成的等[ ]或简记为有时元素如在例4.6.1中也称为等价类的一个代表元。例aAaaaa[ ]R}a{ Rab bAbRa 且[ ]a{0,{1,, 2 ,1, 2}1,}[1]{1,1, 21,}nnnnnnnnnn     定理4.6.11若2若3若4设是非空集合上的等价关系则,则是非空集合,则,则[ ]A上述定理表明等价的元素属于同一等价类即等价类与代表元的选取无关不等价的元素的等价类是不相交的进一步A就是所有这些互不相交的等价类之并。aaRbaRb[ ]A[ ][ ]aaa[ ][ ]bb  a Aa 定义4.6.3A的(关于R的)商集 A/R是 A的全体等价类所成集合即{[ ]设 R是非空集合 A上的等价关系则例如在例4.6.1中}A RaaA{[0],[1],,[1]}RnZ 二、1331银河网站登录等价关系与划分二、等价关系与划分定义4.6.4空集合 A上的一非空子集族其中如果满足下面两个条件12为 A的一个划分分块简称块。设是非}为指标集那么称中元素称为A的划{,AAAA 且AAAA 定理4.6.2 设 R为非空集合 A上的等价关系则 A的商集 A/R是 A的一个划分称为由 R诱导的划分记为即定理4.6.3 设可确定 A上的一个等价关系是非空集合A的一个划分则由R且。只要注意到定义 A上的二元关系{( , ) ,RA R}Ra ba b在 的同一个块中RA R  定理4.6.4 设 R1和 R2是 A上的两个等价关系则1证. 必要性显然成立。充分性而使即( , )设则当故存在[ ]时有[ ]RaR b2于是由说明可知R同理可证。212RRA RA R1( , )a bRc1[ ]R[ ]a bba11a bR2a[ ]RaA RA R2,22A R212[ ]RRRac12A RA R12[ ]RRc21R1R 上述三个定理表明集合 A上的任一等价关系可以惟一地确定 A的一个划分反过来A的任一划分也可以惟一地确定A上的一个等价关系。

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